Question

如图，已知下方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分∠DAE．求证：AE-BE=DF

如图，已知下方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分∠DAE．求证：AE-BE=DF．

Answer 1

解答：证明：延长CB到G，使GB=DF，连接AG（如图），
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，
∴△ADF≌△ABG，
∴∠1=∠G，∠3=∠2=∠4，
又∵AB∥CD
∴∠1=∠4+∠5=∠3+∠5=∠GAE
∴∠G=∠GAE
∴AE=GE=GB+BE=DF+BE
所以AE-BE=DF．

Answer 2

证明：延长CD到点G，使得DG=BE
∵四边形ABCD是正方形

∴∠ADC=∠ABE=90°，AB=AD，AB∥DC
∴∠ABE=∠ADG=90°

在△ABE和△ADG中

AB=AD，∠ABE=∠ADG，BE=DG
∴△ABE≌△ADG（SAS）

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG

∵AF平分∠DAE

∴∠EAF=∠DAF

∴∠EAF+∠BAE=∠DAF+∠DAG

即∠BAF=∠GAF

∵AB∥DC

∴∠BAF=∠GFA

∴∠GAF=∠GFA

∴AG=FG

∴AE=FG

即AE=DG+DF

∴AE=BE+DF

即AE-BE=DF