Question

（2013?苏州）如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于

（2013?苏州）如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．（1）求证：△APB≌△APD；（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．①求y与x的函数关系式；②当x=6时，求线段FG的长．

Answer 1

解答：（1）证明：∵点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，
∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，
∵在△APB和△APD中

AD＝AB ∠DAP＝∠PAB AP＝AP

，
∴△APB≌△APD（SAS）；

（2）解：①∵△APB≌△APD，
∴DP=PB，∠ADP=∠ABP，
∵在△DFP和△BEP中，

∠FDP＝∠EBP DP＝BP ∠FPD＝∠EPB

，
∴△DFP≌△BEP（ASA），
∴PF=PE，DF=BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴GD∥AB，
∴

DF

AF

=

GD

AB

，
∵DF：FA=1：2，
∴

DG

AB

=

1

2

，

BE

AB

=

1

3

，
∴

DG

BE

=

3

2

，
∵

DP

PE

=

DG

EB

，即

3

2

=

x

y

，
∴y=

2

3

x；

②当x=6时，y=

2

3

×6=4，
∴PF=PE=4，DP=PB=6，
∵

GF

BF

=

DG

AB

=

1

2

，
∴

FG

10

=

1

2

，
解得：FG=5，
故线段FG的长为5．