Question

已知：如图，在⊙O中M，N分别为弦AB，CD的中点，AB=CD，AB不平行于CD．求证：∠AMN=∠CNM

已知：如图，在⊙O中M，N分别为弦AB，CD的中点，AB=CD，AB不平行于CD．求证：∠AMN=∠CNM．

Answer 1

解答：证明：连接OM，ON，AO，OC，如图所示，
∵M、N分别为AB、CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
又AB=CD，∴AM=CN，
在Rt△AOM和Rt△CON中，
∵

OA＝OC AM＝CN

，
∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），
∴OM=ON，
∴∠OMN=∠ONM，
∴∠AMO+∠OMN=∠CNO+∠ONM，即∠AMN=∠CNM．

Answer 2

连接AO,CO；过M,N作圆O的半径；连接MN
∵：AB=CD;M,N为AB,CD中点
∴：AM=CN
∵：OA=OC；OM⊥AB；ON⊥CD
∴：△OAM全等于△OCN
∴：OM=ON；∠OAM=∠OCN；∠OMA=∠ONC=90°
∴：三角形OMN是等腰三角形
∴：∠OMN=∠ONM
∴：∠OMA-∠OMN=∠ONC-∠ONM
即:∠AMN=∠CNM
我按照我画的图证的,不知我画的对不对.你再看看.应该是对的.即使不对,大体思路也应该如此.没图,我只能如此.见谅!