Question

交换二次积分的积分次序：∫ 0 ?1dy∫ 1?y 2f(x，y)dx=______

交换二次积分的积分次序：∫ 0 ?1dy∫ 1?y 2f(x，y)dx=______．

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

因为-1≤y≤0时1-y≤2．
故原式=-

∫

0  ?1

dy

∫

2  1?y

f(x，y)dx=-

?

D

f(x，y)dxdy，
其中，D={（x，y）|-1≤y≤0，1-y≤x≤2}，如下图所示．

为将二重积分写成先y后x的形式，
先将区域D写成如下形式：
1≤x≤2，1-x≤y≤0．
从而，

?

D

f(x，y)dxdy=

∫

2 1

dx

∫

0 1?x

f(x，y)dxdy．
故 原式=-

?

D

f(x，y)dxdy=

∫

2 1

dx

∫

0 1?x

f(x，y)dxdy=

∫

2 1

dx

∫

1?x 0

f(x，y)dy．