设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是a2n和an的等差中项．（Ⅰ）证明数列{an
设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是a2n和an的等差中项．（Ⅰ）证明数列{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明...
设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是a2n和an的等差中项．（Ⅰ）证明数列{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明1S1+1S2+…+1Sn＜2．
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（Ⅰ）∵Sn是
和an的等差中项，
∴2Sn=an2+an，且an＞0，
当n=1时，2a1=a12+a1，解得a1=1，
当n≥2时，有2Sn-1=an?12+an-1，
∴2Sn-2Sn-1=an2?an?12+an?an?1，
即2an＝an2?an?12+an?an?1，
∴an2?an?12=an+an-1，
即（an+an-1）（an-an-1）=an+an-1，
∵an+an-1＞0，
∴an-an-1=1，n≥2，
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，且an=n．
（Ⅱ）∵an=n，
则Sn＝
，
∴
＝
=2（
?
），
∴
+
+
+…+
=2[（1-
）+（
?
）+…+（
?
）]
=2（1-
）＜2．
∴
| a | 2 n |
∴2Sn=an2+an，且an＞0，
当n=1时，2a1=a12+a1，解得a1=1，
当n≥2时，有2Sn-1=an?12+an-1，
∴2Sn-2Sn-1=an2?an?12+an?an?1，
即2an＝an2?an?12+an?an?1，
∴an2?an?12=an+an-1，
即（an+an-1）（an-an-1）=an+an-1，
∵an+an-1＞0，
∴an-an-1=1，n≥2，
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，且an=n．
（Ⅱ）∵an=n，
则Sn＝
| n(n+1) |
| 2 |
∴
| 1 |
| Sn |
| 2 |
| n(n+1) |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
∴
| 1 |
| S1 |
| 1 |
| S2 |
| 1 |
| S3 |
| 1 |
| Sn |
=2[（1-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
=2（1-
| 1 |
| n+1 |
∴
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