Question

如图，AD是△ABC的角平分线，点F，E分别在边AC，AB上，且FD=BD．（1）求证：∠B+∠AFD=180°；（2）如果

如图，AD是△ABC的角平分线，点F，E分别在边AC，AB上，且FD=BD．（1）求证：∠B+∠AFD=180°；（2）如果∠B+2∠DEA=180°，探究线段AE，AF，FD之间满足的等量关系，并证明．

Answer 1

解：（1）在AB上截取AG=AF． 
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠FAD=∠DAG．
在△AFD和△AGD中，

AF＝AG ∠FAD＝∠GAD AD＝AD

∴△AFD≌△AGD（SAS），
∴∠AFD=∠AGD，FD=GD，
∵FD=BD，
∴BD=GD，
∴∠DGB=∠B，
∴∠B+∠AFD=∠DGB+∠AGD=180°；

（2）AE=AF+FD．                        
过点E作∠DEH=∠DEA，点H在BC上．
∵∠B+2∠DEA=180°，
∴∠HEB=∠B．
∵∠B+∠AFD=180°，
∴∠AFD=∠AGD=∠GEH，
∴GD∥EH．
∴∠GDE=∠DEH=∠DEG．
∴GD=GE．
又∵AF=AG，
∴AE=AG+GE=AF+FD．