Question

（2013?金川区一模）如图，已知椭圆Γ：x2b2+y2a2=1（a＞b＞0）的离心率e=22，短轴右端点为A，M（1，0）

（2013?金川区一模）如图，已知椭圆Γ：x2b2+y2a2=1（a＞b＞0）的离心率e=22，短轴右端点为A，M（1，0）为线段OA的中点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆Γ相交于两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM=∠QNM，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，b=2，又e＝

2

2

，即

a2?4

a

＝

2

2

，解得a＝2

2

，
所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

8

＝1．…（4分）
（Ⅱ）假设存在点N（x₀，0）满足题设条件．
当PQ⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有∠PNM=∠QNM，即x₀∈R； …（6分）
当PQ与x轴不垂直时，设PQ的方程为：y=k（x-1），代入椭圆方程化简得：
（k²+2）x²-2k²x+k²-8=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2＝

2k2

2+k2

，x1x2＝

k2?8

2+k2

则kPN+kQN＝

y1

x1?x0

+

y 2

x2?x0

＝

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