Question

已知点A,C分别是∠B的两条边上的点，点D,E分别是直线BA,BC上的点，直线AE,CD相交于点P，

（1）点D、E分别在线段BA、BC上，若角B=90°，且AD=BE，BD=CE，则角APD的度数为？
（2）点D、E分别在线段AB、BC的延长线上，若角B=90°，AD=BC，角APD=45°，求证：BD=CE
求较详细过程

Answer 1

（1）
作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，
∴∠FAD=90°．
∵∠B=90°，
∴∠FAD=∠B．
在△FAD和△DBC中，
AF＝BD
∠FAD＝∠B
AD＝BC，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF=DC，∠ADF=∠BCD．
∵∠BDC+∠BCD=90°，
∴∠ADF+∠BDC=90°，
∴∠FDC=90°，
∴∠FCD=45°．
∵∠FAD=90°，∠B=90°，
∴∠FAD+∠B=180°，
∴AF∥BC．
∵DB=CE，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠EAC=∠FCA．
∵∠APD=∠ACP+∠EAC，
∴∠APD=∠ACP+∠ACE=45°；

（2）
作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，
∴∠FAD=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠DBC=90°．
在△FAD和△DBC中，
AF＝BD
∠FAD＝∠DBC
AD＝BC，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF=DC，∠ADF=∠BCD．
∵∠BDC+∠BCD=90°，
∴∠ADF+∠BDC=90°，
∴∠FDC=90°，
∴∠FCD=45°．
∵∠APD=45°，
∴∠FCD=∠APD，
∴CF∥AE．
∵∠FAD=90°，∠ABC=90，
∴∠FAD=∠ABC，
∴AF∥BC．
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE，
∴CE=BD．