Question

已知关于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是______

已知关于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：a²-（x²+2x）a+x³-1=0，则△=（x²+2x）²-4（x³-1）=（x²+2）²，
∴a=

x 2+2x±(x 2+2)

2

，即a=x-1或a=x²+x+1．
所以有：x=a+1或x²+x+1-a=0．
∵关于x³-ax²-2ax+a²-1=0只有一个实数根，
∴情形1，方程x²+x+1-a=0没有实数根，即△＜0，得a＜

3

4

；
情形2，方程x²+x+1-a=0，有重根a+1，此时有a+1=-

1

2

，a=-

3

2

，方程为x²+x+

5

2

=0无解，不合题意，舍去，
所以a的取值范围是a＜

3

4

．
故答案为：a＜

3

4

．