Question

如图，已知二次函数y=ax 2 +bx+3的图象与x轴相交于点A、C，与y轴相交于点B，A ，且△AOB∽△BOC。（1）

如图，已知二次函数y=ax 2 +bx+3的图象与x轴相交于点A、C，与y轴相交于点B，A ，且△AOB∽△BOC。（1）求C点的坐标、∠ABC的度数； （2）求二次函数y=ax 2 +bx+3的解析式； （3）在线段AC上是否存在M（m，0）点，使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

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Answer 1

解：（1）由题意得：B（0，3） ∵△AOB∽△BOC ∴ ∴OC=4 C（4，0） ∵ ∴ ∴ ；
（2）∵ 的图像经过点 ∴ ∴ ；
（3）①当PC=PO时，点P为BC的中点，得PC=2.5， 过点P作 ，PM 1 交AC于点M 1 ， 则点P在BM 1 为直径的圆上， 由△CPM 1 ∽△CBA， ∴ 得 ∴ ， ②当CP=CO时，过P作 则点P在以 为直径的圆上， 同理 ∴ ∽△CBA ∴ 得CM 2 =5， ∴m 2 =-1 ③当OC=OP时，M点不在线段AC上， 综上所述，m的值为 或-1。