Question

抛物线y=a（x+6） 2 -3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C，D为抛物线的顶点，直线DE⊥x轴，垂足为E，AE

抛物线y=a（x+6） 2 -3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C，D为抛物线的顶点，直线DE⊥x轴，垂足为E，AE 2 =3DE．（1）求这个抛物线的解析式；（2）P为直线DE上的一动点，以PC为斜边构造直角三角形，使直角顶点落在x轴上．若在x轴上的直角顶点只有一个时，求点P的坐标；（3）M为抛物线上的一动点，过M作直线MN⊥DM，交直线DE于N，当M点在抛物线的第二象限的部分上运动时，是否存在使点E三等分线段DN的情况？若存在，请求出所有符合条件的M的坐标；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

（1）易知抛物线的顶点D（-6，-3），则DE=3，OE=6； ∵AE 2 =3DE=9， ∴AE=3，即A（-3，0）； 将A点坐标代入抛物线的解析式中， 得：a（-3+6） 2 -3=0， 即a= 1 3 ， 即抛物线的解析式为：y= 1 3 （x+6） 2 -3= 1 3 x 2 +4x+9． （2）设点P（-6，t），易知C（0，9）； 则PC的中点Q（-3， 9+t 2 ）； 易知：PC= 36+ (9-t) 2 ； 若以PC为斜边构造直角三角形，在x轴上的直角顶点只有一个时，以PC为直径的圆与x轴相切，即： | 9+t 2 |= 1 2 36+ (9-t) 2 ， 解得t=1， 故点P（-6，1）， 当点P与点E重合时，由抛物线的解析式可知，A（-3，0），B（-9，0）． 所以P（-6，0）， 故点P的坐标为（-6，1）或（-6，0）， （3）设点M（a，b）（a＜0，b＞0），分两种情况讨论： ①当NE=2DE时，NE=6，即N（-6，6），已知D（-6，-3），则有： 直线MN的斜率：k 1 = b-6 a+6 ，直线MD的斜率：k 2 = b+3 a+6 ； 由于MN⊥DM，则k 1 ?k 2 = (b-6)(b+3) (a+6) 2 =-1， 整理得：a 2 +b 2 +12a-3b+18=0…（△）， 由抛物线的解析式得： 1 3 a 2 +4a+9=b， 整理得：a 2 +12a-3b+27=0…（□）； （△）-（□）得：b 2 =9，即b=3（负值舍去）， 将b=3代入（□）得：a=-6+3 2 ，a=-6-3 2 ， 故点M（-6+3 2 ，3）或（-6-3 2 ，3）； ②当2NE=DE时，NE= 3 2 ，即N（-6， 3 2 ），已知D（-6，-3）， 则有：直线MN的斜率：k 1 = b- 3 2 a+6 ，直线DM的斜率：k 2 = b+3 a+6 ； 由题意得：k 1 ?k 2 = (b- 3 2 )(b+3) (a+6) 2 =-1， 整理得：a 2 +b 2 + 3 2 b+12a+ 63 2 =0， 而a 2 +12a-3b+27=0；两式相减， 得：2b 2 +9b+9=0， 解得b=-2，b=- 3 2 ，（均不符合题意，舍去）； 综上可知：存在符合条件的M点，且坐标为：M（-6+3 2 ，3）或（-6-3 2 ，3）．