Question

如图，在矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线EF分别与AB、CD的延长线交于点E、F。 （

如图，在矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线EF分别与AB、CD的延长线交于点E、F。 （1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么关系时，以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论。

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OD，AE∥CF， ∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF， ∴△BOE≌△DOF（AAS）； （2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形， 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC， 又由（1）△BOE≌△DOF得，OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形， 又EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形。