Question

已知函数f(x)＝|x?a|?a2lnx，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，

已知函数f(x)＝|x?a|?a2lnx，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，（x1＜x2），求证：1＜x1＜a＜x2＜a2．

Answer 1

（1）由题意，函数的定义域为（0，+∞），
当a≤0时，f(x)＝|x?a|?

a

2

lnx＝x?a?

a

2

lnx，f′(x)＝1?

a

2x

＞0，
函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），…3分
当a＞0时，f(x)＝|x?a|?

a

2

lnx＝

x?a? a 2 lnx  ，x≥a a?x? a 2 lnx，  0＜x＜a

，…5分
若x≥a，f′(x)＝1?

a

2x

＝

2x?a

2x

＞0，此时函数f（x）单调递增，
若x＜a，f′(x)＝?1?

a

2x

＜0，此时函数f（x）单调递减，
综上，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞）． …7分
（2）由（1）知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，
此时函数至多只有一个零点，不合题意；                      …8分
则必有a＞0，此时函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞），
由题意，必须f(a)＝?

a

2

lna＜0，解得a＞1，…10分
由f(1)＝a?1?

a

2

ln1＝a?1＞0，f（a）＜0，
得x₁∈（1，a），…12分
而f（a²）=a²-a-alna=a（a-1-lna），
下面证明：a＞1时，a-1-lna＞0
设g（x）=x-1-lnx，x＞1
则g′(x)＝1?

1

x

＝

x?1

x

＞0，
所以g（x）在x＞1时递增，则g（x）＞g（1）=0，
所以f（a²）=a²-a-alna=a（a-1-lna）＞0，
又f（a）＜0，
所以x₂∈（a，a²），
综上，1＜x₁＜a＜x₂＜a²．                     …16分