Question

（本小题满分12分）如图，已知三棱锥 P — ABC 中， PA ⊥平面 ABC ， AB ⊥ AC ， PA ＝ AC ＝ AB ，

（本小题满分12分）如图，已知三棱锥 P — ABC 中， PA ⊥平面 ABC ， AB ⊥ AC ， PA ＝ AC ＝ AB ， N 为 AB 上一点， AB ＝4 AN ， M ， S 分别为 PB ， BC 的中点.（I）证明： CM ⊥ S N ；（II）求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.

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Answer 1

（I）略 （II） SN 与平面 CMN 所成角为45°.

设 PA ＝1，以 A 为原点，射线 AB ， AC ， AP 分别为 x ， y ， z 轴正向建立空间直角坐标系，如图. 则 P (0，0，1)， C (0，1，0)， B (2，0，0)， M (1，0， )， N ( ，0，0)， S (1， ， 0)， （I）证明： CM ＝(1，－1， )， SN ＝(－ ，－ ，0)， 因为 CM · SN ＝－ ＋ ＋0＝0，所以 CM ⊥ S N . （II）解： NC ＝(－ ，1，0)， 设a＝( x ， y ， z )为平面 CMN 的一个法向量，则 令 x ＝2，得a＝(2，1，－2)，因为|cos(a， SN )|＝| |＝ ， 所以 SN 与平面 CMN 所成角为45°.