Question

如图，在△ABC中，AB=BC=5，AC=7，△ABC的内切圆⊙O与边AC相切于点M，过点M作平行于边BC的直线MN交⊙O于

如图，在△ABC中，AB=BC=5，AC=7，△ABC的内切圆⊙O与边AC相切于点M，过点M作平行于边BC的直线MN交⊙O于点N，过点N作⊙O的切线交AC于点P．则MN-NP=______．

Answer 1

解：∵AB=BC=5，AC=7，△ABC的内切圆⊙O与边AC相切于点M（利用等腰三角形三线合一，），
∴AM=CM=3.5，
设MN交AB于点G，
∵MG∥BC，
∴∠C=∠NMP，GM=

1

2

BC=2.5，
∴AG=BG=2.5，
设⊙O与边AB相切于点R，
∵则AR=AM=3.5，
∴GR=3.5-2.5=1，
∵GR ²=GN×GM，
∴1=GN×2.5，
解得：GN=0.4，
∴MN=GM-GN=2.5-0.4=2.1，
∵∠C=∠NMP，PN=PM（切线长定理），
∴∠PNM=∠PMN=∠C=∠A，
∴△ABC∽MPN，
∴

PM

MN

=

AB

AC

，
即

PM

2.1

=

5

7

，
解得：PM=1.5，
∴PN=1.5，则
∴MN-NP=2.1-1.5=0.6．
故答案为：0.6．