Question

已知函数f（x）=2x，x∈R．（1）当m取何值时方程|f（x）-2|=m有一个解？两个解？（2）若不等式f2（x）+f

已知函数f（x）=2x，x∈R．（1）当m取何值时方程|f（x）-2|=m有一个解？两个解？（2）若不等式f2（x）+f（x）-m＞0在R上恒成立，求m的范围．

Answer 1

（1）令g（x）=|f（x）-2|=|2^x-2|=

2x?2，    x≥1 ?2x+2，   x＜1

，
方程|f（x）-2|=m有一个解，即y=g（x）与y=m有一个交点，方程|f（x）-2|=m有两个解，即y=g（x）与y=m有两个交点，
作出图象如右图所示，可得
当m=0或m≥2时，方程|f（x）-2|=m有一个解，
当0＜m＜2时，方程|f（x）-2|=m有两个解．
（2）不等式f²（x）+f（x）-m＞0在R上恒成立，即4^x+2^x-m＞0在R上恒成立，
即m＜4^x+2^x在R上恒成立，即m＜（4^x+2^x），
4^x+2^x=（2^x+

1

2

）²-

1

4

＞0，
∴m≤0，
所以m的取值范围为m≤0．