Question

如图所示，AB是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R．一

如图所示，AB是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R．一个质量为m的物体（可视为质点）从直轨道的P点由静止释放，结果它在两轨道之间做往复运动．已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因素为μ，求：（1）试描述小球在哪两点之间做往复运动．（1）物体做往复运动的过程中，在轨道AB上通过的总路程．（2）物体对圆弧轨道最低点E的最小压力．

Answer 1

（1）物体在直轨道AB上往复运动时，需克服摩擦阻力做功，机械能不断减小，当物体到达B点速度为零时，物体不能再进入直轨道AB，只在圆弧轨道上往复运动．
（2）对物体从P到B速度为零的过程，由动能定理得：
mgRcosθ-μmgcosθ?s=0
得：s＝

R

μ

（3）当物体只在圆弧轨道上往复运动经过E点时，物体对轨道上E点的压力最小，由机械能守恒定律得：
mgR(1?cosθ)＝

1

2

mv2
由牛顿第二定律得：
FN?mg＝m

v2

R

联立两式解得：F_N=mg（3-2cosθ）
由牛顿第三定律得，物体对轨道上E点的压力为：
F_N′=mg（3-2cosθ），方向竖直向下．
答：（1）在圆弧轨道上往复运动；
（2）在轨道AB上通过的总路程为

R

μ

；
（3）物体对圆弧轨道最低点E的最小压力为mg（3-2cosθ），方向竖直向下．