Question

设函数f（x）=3ax2-2（a+b）x+b，其中a＞0，b为任意常数．证明：当0≤x≤1时，有|f（x）|≤max{f（0），f

设函数f（x）=3ax2-2（a+b）x+b，其中a＞0，b为任意常数．证明：当0≤x≤1时，有|f（x）|≤max{f（0），f（1）}．（其中，max{x，y}=x， x≥yy， x＜y）

Answer 1

f（x）=3ax²-2（a+b）x+b=3a（x-

a+b

3a

）²-

a2+b2?ab

3a

（1）当

a+b

3a

≥1，

a+b

3a

≤0时，f（x）在[0，1]上是单调函数，
所以f（1）≤f（x）≤f（0），或f（0）≤f（x）≤f（1），且f（0）+f（1）=a＞0．
所以|f（x）|≤max{f（0），f（1）}．
（2）当0＜

a+b

3a

＜1时碰吵，即-a＜b＜2a，则-

a2+b2?ab

3a

≤f（x）≤max{f（0），f（1）}．
①当-a＜b≤

b

2

时，则则0＜a+b≤

3

2

a，
所以  f（1）-

a2+b2?ab

3a

=

2a2?b2?2ab

3a

=

3a2?(a+b)2

3a

≥

1

4

a2＞0，
所以|f（x）|≤max{f（0）芦李，f（1）}．
②当

a

2

＜b＜2a时，则(b?

a

2

)(b?2a)＜0，即即笑哗侍a²+b²-

5

2

ab＜0，
所以b-

a2+b2?ab

3a

=

4ab?a2?b2

3a

＞

5 2 ab?a2?b2

3a

＞0，即f（0）＞

a2+b2?ab

3a

，
所以|f（x）|≤max{f（0），f（1）}．
综上所述：当0≤x≤1时，所以|f（x）|≤max{f（0），f（1）}．