Question

已知函数f（x）=x3-3ax-1，a≠0（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在x=-1处取得极值，直线y=m与y=

已知函数f（x）=x3-3ax-1，a≠0（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围． （Ⅲ）若a＞0，求函数f（x）在区间[0，1]上的最小值g（a）．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=3x²-3a，
①当a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增；
②当a＞0时，由f′（x）＞0即3x²-3a＞0，解得x＜-

a

或x＞

a

，
由f′（x）＜0得-

a

＜x＜

a

，
∴f（x）的单调增区间为（-∞，-

a

）和（

a

，+∞）；f（x）的单调减区间是（-

a

，

a

）．
（Ⅱ）因为f（x）在x=-1处取得极大值，
所以f′（-1）=3×（-1）²-3a=0，∴a=1．
所以f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=0解得x₁=-1，x₂=1．
由（1）中f（x）的单调性可知，f（x）在x=-1处取得极大值f（-1）=1，
在x=1处取得极小值f（1）=-3．
因为直线y=m与函数y=f（x）