Question

（2014?邯郸二模）在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，∠ABC=90°，且SA=AB，点M是SB的中点，AN⊥SC且交SC于

（2014?邯郸二模）在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，∠ABC=90°，且SA=AB，点M是SB的中点，AN⊥SC且交SC于点N．（1）求证：SC⊥平面AMN；（2）当AB=BC=1时，求三棱锥M-SAN的体积．

Answer 1

（1）证明：∵SA⊥平面ABC，
∴SA⊥CB
∵ABC直角三角形，
∴CB⊥AB，且SA∩AB=A，
∴CB⊥平面SAB，
∴CB⊥AM
∵SA=AB，M为SB的中点，
∴AM⊥SB，且CB∩SB=B，
∴AM⊥平面SCB，
∴AM⊥SC   
又∵SC⊥AN，且AN∩AM=A，
∴SC⊥平面AMN．
（2）由（1）可知∠AMN=∠SNM=∠SNA=90°，
∵SA=AB=BC=1，
∴AM=SM=MB=

2

2

，SC=

3

，MN=

BC?SM

SC

=

6

6

．SN=

SB?SM

SC

=

3

3

．
SC⊥平面AMN，
∴三棱锥M-SAN的体积：

1

3

×

1

2

×AM?MN?SN=

1

3

×

1

2

×

2

2

×

6

6

×

3

3

=

1

36

．