Question

已知双曲线C与椭圆x2+5y2=5有共同的焦点，且一条渐近线方程为y＝3x（1）求双曲线C的方程；（2）设双曲线C

已知双曲线C与椭圆x2+5y2=5有共同的焦点，且一条渐近线方程为y＝3x（1）求双曲线C的方程；（2）设双曲线C的焦点分别为F1、F2，过焦点F1作实轴的垂线与双曲线C相交于A、B两点，求△ABF2的面积．

Answer 1

（1）由椭圆x²+5y²=5化为

x2

5

+y2＝1，∴c＝

5?1

＝2，其焦点为（±2，0）．
设双曲线为

x2

a2

?

y2

b2

＝1，则渐近线为y＝±

b

a

x，
∴

b a ＝ 3 a2+b2＝4

解得a²=1，b²=3，
∴双曲线为x2?

y2

3

＝1．
（2）∵F₁（-2，0），F₂（2，0）．
∴可设A（-2，y₁），B（-2，y₂），（y₁＞y₂），代入双曲线方程(?2)2?

y 2 1

3

＝1，解得y₁=3，同理解得y₂=-3，∴|AB|=y₁-y₂=6．
又|F₁F₂|=2c=4．
∴S△ABF2=

1

2

|AB|?|F1F2|=

1

2

×6×4=12．