Question

已知f(x)＝1+lnxx．（1）若函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值，求实数a的取值范围；（2）若关于x的方程

已知f(x)＝1+lnxx．（1）若函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值，求实数a的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）=x2-2x+k有实数解，求实数k的取值范围；（3）当n∈N*，n≥2时，求证：nf(n)＜2+12+13+…+1n?1．

Answer 1

（1）∵f(x)＝

1+lnx

x

，∴f′(x)＝

1 x ?x?(1+lnx)

x2

＝?

lnx

x2

∴当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0；
∴函数f（x）在区间（0，1）上为增函数；在区间（1，+∞）为减函数（3分）
∴当x=1时，函数f（x）取得极大值，而函数f（x）在区间（a，a+1）有极值．
∴

a＜1 a+1＞1

，解得0＜a＜1
（2）由（1）得f（x）的极大值为f（1）=1，令g（x）=x²-2x+k，
所以当x=1时，函数g（x）取得最小值g（1）=k-1，
又因为方程f（x）=x²-2x+k有实数解，那么k-1≤1，即k≤2，所以实数k的取值范围是：k≤2

解法二：∵f（x）=x²-2x+k，∴k＝

1+lnx

x

+2x?x2，
令h（x）=

1+lnx

x

+2x?x2，所以h'（x）=?

lnx

x2

+2-2x，当x=1时，h'（x）=0
当x∈（0，1）时，h'（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0
∴当x=1时，函数h（x）取得极大值为h（1）=2
∴当方程f（x）=x²-2x+k有实数解时，k≤2．）
（3）∵函数f（x）在区间（1，+∞）为减函数，而1+

1

n

＞1(n∈N*，n≥2)，
∴f(1+

1

n

)＜f(1)＝1，∴1+ln(1+

1

n

)＜1+

1

n

，即ln(n+1)?lnn＜

1

n

∴lnn=ln2-ln1+ln3-ln2+…+lnn-ln（n-1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n?1

∴1+lnn＜2+

1

2

+

1

3

+…+

1

n?1

而n?f（n）=1+lnn，
nf(n)＜2+

1

2

+

1

3

+…+

1

n?1

，结论成立