Question

正方体ABCD-A′B′C′D′中，点E在AB′上，点F在BD上，且B′E=BF,求证:EF平行平

正方体ABCD-A′B′C′D′中，点E在AB′上，点F在BD上，且B′E=BF,求证:EF平行平面BB′C′C

Answer 1

作FG垂直于AB交AB与G，作EH垂直于BB'交BB'于H，连接EG
因为在正方体ABCD-A'B'C'D'中，角AB'B=角ABD=45度，且B'E=BF，所以三角形B‘EH全等于三角形BFG，所以EH=FG。
又因为角ABD=45度，所以角BFG=180度-角ABD-角BGF=180度-45度-90度=45度，所以三角形BFG为直角等腰三角形，则FG=BG。
又因为BG垂直于BB'，EH垂直于BB’，且BG=FG=EH，所以EG垂直于AB。
因为EG垂直于AB，且FG垂直于AB，所以平面EGF垂直于AB。
因为在正方体ABCD-A'B'C'D'中，平面BB'C'C垂直于AB，所以面EGF平行于平面BB'C'C，所以EF平行于平面BB'C'C