Question

已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项．（1）求a1的值及数

已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项．（1）求a1的值及数列{an}的通项公式；（2）设bn＝21+an +(?1)n?1×2n+1λ，若数列{bn}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）由已知得，

an+1

2

＝

Sn

，4Sn＝an2+2an+1．
当n=1时，求得a₁=1
当n≥2时，4Sn?1＝an?12+2an?1+1
所以4an＝4Sn?4Sn?1＝an2+2an?an?12?2an?1
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
因为{a_n}的各项均为正数，所以a_n-a_n-1=2，
又a₁=1，所以a_n=2n-1；
（2）由（1）得，bn＝4n+λ×(?1)n?1×2n+1，
又数列{b_n}是单调递增数列，所以b_n＜b_n+1恒成立，
从而bn?bn?1＝4n+1+λ×(?1)n×2n+2?4n?λ×(?1)n?1×2n?1
=3×4ⁿ-3λ×（-1）^n-1×2ⁿ⁺¹＞0恒成立．
①当n是奇数时，得λ＜2^n-1恒成立，2^n-1的最小值为1，λ＜1
②当n是偶数时，得λ＞-2^n-1恒成立，-2^n-1最大值为-2，λ＞-2．
综上得：-2＜λ＜1．