Question

如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交于CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C. (1)求证：AB=AC；(2)当 =

如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交于CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C. (1)求证：AB=AC；(2)当 = 时，①求tan∠ABE的值；②如果AE= ，求AC的值。

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Answer 1

（1）证明见解析(2) ①1/2②4

（1）证明：∵BE切⊙O于点B， ∴∠ABE＝∠C。························1分 ∵∠EBC＝2∠C， 即 ∠ABE＋∠ABC＝2∠C。 ∴∠ABC＝∠C。 ∴AB＝AC。····························2分 （2）解①如图，连接AO，交BC于点F。 ∵AB＝AC∴ ∴AO⊥BC，且BF＝FC。·······················3分 ∵  ∴ ∴ …………………….….…….4分 设 , ， 由勾股定理，得AF= = ………………5分 ∴ ……………………………6分 ②在 EBA和 ECB中， ∵∠E=∠E, ∠EBA=∠ECB, ∴△EBA∽△ECB, ∴ =  ……………………………7分 ∵ =   ∴ (※)…………………8分 由切割线定理，得 将(※)式代入上式，得 …………………………9分 ∵ , ∴ ………………………………………………10分 （1）BE切⊙O于点B，根据弦切角定理得到∠ABE=∠C，把求证AB=AC的问题转化为证明∠ABC=∠C的问题． （2）①连接AO，交BC于点F，tan∠ABE=tan∠ABF= ，转化为求AF的问题． ②在△EBA和△ECB中，∠E=∠E，∠EBA=∠ECB，得到△EBA∽△ECB，再由切割线定理，得EB 2 =EA×EC=EA（EA+AC），就可以求出AC的长