Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 3 2 ，且经过点M（4，1），直线

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 3 2 ，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆的方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 ， ∵椭圆的离心率为 e= 3 2 ， ∴a 2 =4b 2 ， 又∵M（4，1）， ∴ 16 a 2 + 1 b 2 =1 ，解得b 2 =5，a 2 =20，故椭圆方程为 x 2 20 + y 2 5 =1 ．…（4分） （Ⅱ）将y=x+m代入 x 2 20 + y 2 5 =1 并整理得 5x 2 +8mx+4m 2 -20=0， ∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B ∴△=（8m） 2 -20（4m 2 -20）＞0，解得-5＜m＜5．…（7分） （Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k 1 和k 2 ，只要证明k 1 +k 2 =0． 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）， 根据（Ⅱ）中的方程，利用根与系数的关系得： x 1 + x 2 =- 8m 5 ， x 1 x 2 = 4 m 2 -20 5 ． k 1 + k 2 = y 1 -1 x 1 -4 + y 2 -1 x 2 -4 = ( y 1 -1)( x 2 -4)+( y 2 -1)( x 1 -4) ( x 1 -4)( x 2 -4) 上式的分子=（x 1 +m-1）（x 2 -4）+（x 2 +m-1）（x 1 -4） =2x 1 x 2 +（m-5）（x 1 +x 2 ）-8（m-1） = 2(4 m 2 -20) 5 - 8m(m-5) 5 -8(m-1)=0 所以k 1 +k 2 =0，得直线MA，MB的倾斜角互补 ∴直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．…（12分）