Question

已知a，b，c是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A，B，若A，B到原点的距离都小于1，则a+b

已知a，b，c是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A，B，若A，B到原点的距离都小于1，则a+b+c的最小值为（　　）A．8B．9C．10D．11

Answer 1

据题意得，方程ax²+bx+c=0有两个相异根，都在（-1，0）中，
故当x=-1时，y＞0，则a-b+c＞0，一元二次方程ax²+bx+c=0的两根

c

a

=x₁x₂＜1，且b²-4ac＞0①，
∵a，b，c都为正整数，a-b+c＞0，
∴a-b+c≥1②，且a＞c③，
由b²-4ac＞0，得到b²＞4ac，即b＞2

ac

，
∴a+c≥b+1＞2

ac

+1，即（

a

-

c

）²＞1，
由③得，

a

＞

c

+1，故a＞4，
又b＞2

ac

≥2

5×1

＞4，
故分别取a、b、c的最小整数5、5、1，经检验，符合题意，
则a+b+c的最小值为11．
故选D．