Question

如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG． （1）求证：①DE=DG

如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG． （1）求证：①DE=DG； ②DE⊥DG（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）； （3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：（4）当 时，请直接写出 的值．

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Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°． 又∵CE=AG， ∴△DCE≌△GDA， ∴DE=DG，∠EDC=∠GDA， 又∵∠ADE+∠EDC=90°， ∴∠ADE+∠GDA=90° ∴DE⊥DG． （2）解：如图． （3）解：四边形CEFK为平行四边形． 证明：设CK、DE相交于M点 ∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形， ∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG， ∵BK=AG， ∴KG=AB=CD， ∴四边形CKGD是平行四边形， ∴CK=DG=EF，CK∥DG， ∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°， ∴∠KME+∠DEF=180°， ∴CK∥EF， ∴四边形CEFK为平行四边形． （4）解：∵ ， ∴设CE=x，CB=nx， ∴CD=nx， ∴DE 2 =CE 2 +CD 2 =n 2 x 2 +x 2 =（n 2 +1）x 2 ， ∵BC 2 =n 2 x 2 ， ∴ = = ．

Answer 2

因为四边形ABCD是正方形
所以DC=DA，角DCE=角DAG=90度
在△DCE和△DAG中
{DC=DA
{GA=EC
{角DCE=角DAG
所以△DCE全等于△DAG