Question

已知：关于x的方程2x 2 -（ 3 +1）x+m=0的两根为sinθ和cosθ，θ∈（0，2π）．求：（1）

已知：关于x的方程2x 2 -（ 3 +1）x+m=0的两根为sinθ和cosθ，θ∈（0，2π）．求：（1） tanθsinθ tanθ-1 + cosθ 1-tanθ 的值；（2）m的值；（3）方程的两根及此时θ的值．

Answer 1

（1）由于关于x的方程2x 2 -（ 3 +1）x+m=0的两根为sinθ和cosθ，故有 sinθ+cosθ= 3 +1 2 sinθcosθ= m 2 ， ∴ tanθsinθ tanθ-1 + cosθ 1-tanθ = sin 2 θ sinθ-cosθ + cos 2 θ cosθ-sinθ = (sinθ+cosθ)(sinθ-cosθ) sinθ-cosθ =sinθ+cosθ= 3 +1 2 ． （2）由sinθ+cosθ= 3 +1 2 、sinθcosθ= m 2 ，∴sin 2 θ+2sinθcosθ+cos 2 θ= ( 3 +1 2 ) 2 ，即 1+m= ( 3 +1 2 ) 2 ，解得 m= 3 2 ． （3）由以上可得，sinθ+cosθ= 3 +1 2 、sinθcosθ= 3 4 ，解得 sinθ= 1 2 ，cosθ= 3 2 ； 或者 sinθ= 3 2 ，cosθ= 1 2 ． 故此时方程的两个根分别为 1 2 、 3 2 ，对应θ的值为 π 6  或 π 3 ．