Question

已知函数f（x）=xlnx．（I）若函数g（x）=f（x）+ax在区间[e 2 ，+∞]上为增函数，求a的取值范围；（II）

已知函数f（x）=xlnx．（I）若函数g（x）=f（x）+ax在区间[e 2 ，+∞]上为增函数，求a的取值范围；（II）若对任意 x∈(0，+∞)，f(x)≥ - x 2 +mx-3 2 恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

（I）由题意得，g′（x）=f′（x）+a=lnx+a+1， ∵函数g（x）在区间[e 2 ，+∞）上为增函数， ∴当x∈[e 2 ，+∞）时，g′（x）≥0，即lnx+a+1≥0在[e 2 ，+∞）上恒成立， ∴a≥-1-lnx， 又当x∈[e 2 ，+∞）时，lnx∈[2，+∞）， ∴-1-lnx∈（-∞，-3]， ∴a≥-3． （II）因为2f（x）≥-x 2 +mx-3，即mx≤2x?lnx+3+x 2 ， 又x＞0，所以m≤ 2x?lnx+ x 2 +3 x ，令h（x）= 2x?lnx+ x 2 +3 x ， h′（x）= (2xlnx+ x 2 +3)x′-(2xlnx+ x 2 +3)?x′ x 2 = 2x+ x 2 -3 x 2 ， 令h′（x）=0解得：x=1或x=-3（舍）， 当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，函数h（x）在（0，1）上单调递减， 当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增， 所以h（x） min =h（1）=4，    因为对任意 x∈(0，+∞)，f(x)≥ - x 2 +mx-3 2 恒成立， 所以m≤h（x） min =4，即m的最大值为4．