Question

设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，当x∈[0，π]时，0≤f（x）＜1，且在[0，π2]上单调

设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，当x∈[0，π]时，0≤f（x）＜1，且在[0，π2]上单调递减，在[π2，π]上单调递增，则函数y=f（x）-sinx在[-10π，10π]上的零点个数为______．

Answer 1

由定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，且在[0，

π

2

]上单调递减，在[

π

2

，π]上单调递增，可作出函数f（x）图象的大致形状，求函数y=f（x）-sinx在[-10π，10π]上的零点个数，就是求方程f（x）-sinx=0的根的个数，即求函数y=f（x）的图象与y=sinx图象交点的个数，如图，

函数y=f（x）的图象与y=sinx的图象交于x轴上方，
以正弦函数[-π，π]为一个周期，也正是函数y=f（x）的一个周期，在每个周期内两个函数图象有两个交点，
区间[-10π，10π]占10个周期长度，
因此在[-10π，10π]上总的交点个数为20个，
所以，函数y=f（x）-sinx在[-10π，10π]上的零点个数为20．
故答案为：20．