Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC边上一点．（1）若D是BC边的中点，如图1，则AD2+BD?CD与BC2的大小关

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC边上一点．（1）若D是BC边的中点，如图1，则AD2+BD?CD与BC2的大小关系是______（直接填空，不必证明）（2）如图2，若D是△ABC中BC边上任意一点，则（1）中的结论还成立吗？请证明你的结论．

Answer 1

（1）AD²+BD?CD与BC²的大小关系是AD²+BD?CD=

1

2

BC²；

（2）过A作AM⊥BC于M，

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=45°，BM=CM=AM，
设BM=CM=AM=a，
则AD²+BD?CD=AM²+MD²+（BM+MD）?（CM-MD）=AM²+MD²+BM²-MD²=AM²+BM²=2a²，
而BC²=（2a）²=4a²，
∴AD²+BD?CD=

1

2

BC²．