Question

z=f（x，y）在点（x，y）的偏导数?z?x及?z?y存在，是函数f（x，y）在该点可微的（　　）A．充分条件而非

z=f（x，y）在点（x，y）的偏导数?z?x及?z?y存在，是函数f（x，y）在该点可微的（　　）A．充分条件而非必要条件B．必要条件而非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件

Answer 1

根据可微的定义可得，
如果函数f（x，y）在点（x₀，y₀）可微，
则z=f（x，y）在点（x₀，y₀）的偏导数

?z

?x

及

?z

?y

存在，
且△f=A△x+B△y+o（ρ），
即：

lim

(△x，△y)→(0，0)

△f?A△x?B△y

(△x)2+(△y)2

＝0，
其中A＝

?f

?x

|(x0，y0)，B＝

?f

?y

|(x0，y0)．
但是，如果z=f（x，y）在点（x₀，y₀）的偏导数

?z

?x

及

?z

?y

存在，
函数f（x，y）在点（x₀，y₀）处不一定可微．
反例，取f(x，y)＝

xy x2+y2 (x，y)≠(0，0) 0 (x，y)＝(0，0)

，
则在点（0，0）处，

?f

?x

|(0，0)=

lim

x→0

f(x，0)?f(0，0)

x?0

=0，

?f

?y

|(0，0)=

lim

y→0

f(0，y)?f(0，0)

y?0

=0．
因为△f-A△x-B△y=△f=

△x△y

(△x)2+(△y)2

，

lim

y＝k△x→0

△x△y

(△x)2+(△y)2

=

k

1+k2

，
故

lim

(△x，△y)→(0，0)

(△f?A△x?B△y)=

lim

(△x，△y)→(0，0)

△f 不存在，
综上，z=f（x，y）在点（x₀，y₀）的偏导数

?z

?x

及

?z

?y

存在，是函数f（x，y）在该点可微的必要但不充分条件．
故选：B．