Question

已知函数f（x）的定义域是D={x∈R|x≠0}，对任意x1，x2∈D都有：f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时

已知函数f（x）的定义域是D={x∈R|x≠0}，对任意x1，x2∈D都有：f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时，f（x）＞0．给出结论：①f（x）是偶函数；②f（x）在（0，+∞）上是减函数．则正确结论的序号是______．

Answer 1

令x₁=x₂=1，
∴f（1）=2f（1），
∴f（1）=0，
令x₁=-1，x₂=1
f（-1）=f（-1）+f（1），
∴f（-1）=0，
令x₁=-1，
∴f（x₁?x₂）=f（-x₂）=f（-1）+f（x₂）；
又∵f（-1）=0
∴f（-x₂）=f（x₂）
故f（x）是偶函数；
令x₁＞1，当x₂∈（0，+∞）时，x₁?x₂＞x₂
∵当x＞1时f（x）＞0
∴f（x₁?x₂）=f（x₁）+f（x₂）＞f（x₂）．
故f（x）在（0，+∞）上是增函数．
故结论正确的序号是①．
故答案为：①