Question

关于反函数的问题，求解

这里说y=f^-1(x)是x=f(x）的反函数

这里说y=f^-1(x)是y=f(x)的反函数
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好吧，大家说原函数和反函数只是对应法则不同，这我理解。
但是，
这三个函数都落实到图像上的话，x=f(y)和y=f(x)的图像是关于y=x对称的吧...
那y=f^-1(x)作为他俩的反函数，应该关于y=x跟哪个对称呢？这里矛盾了啊...
到底是我哪里理解错了，求解.....
上面第一个打错了，应该是y=f^-1(x)是x=f(y）的反函数





Answer 1

[重点难点]

反函数的定义和求法.

：⑴在函数x=f-1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式.

⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f-1(x)，那么函数y=f-1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数.

⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f-1(x)的定义域

性质

可以完全肯定 任何非零的偶函数都没有反函数 因为反函数存在的条件是一一对应，而偶函数显然不符合这个条件。但是比如说y=x^2这个函数，取x>0的区间，那么就存在反函数，换言之，偶函数在一一对应的各个区间内存在反函数

求反函数 解题步骤

①确定函数y=f(x)的定义域和值域；

②视y=f(x)为关于x的方程，解方程得x=f-1(y);

③互换x,y得反函数的解析式y=f-1(x)；

④写出反函数的定义域（原函数的值域）.

补充：
哎 没办法 一共就这么几点性质 还让人家给答了 嗖嗖说·不许再答别人说了的 没办法就整了点这个 也是诚心诚意~

Answer 2

x=f(y)和y=f(x)的图像并不关于y=x对称，或者说，这仅仅是同一个函数表示方法不同而已。
题主可以想一下，刚开始我们学习函数的时候，y=f(x)和y=f(t)是完全等价的吧，与此完全相同，x=f(y)和y=f(x)也只不过是同一个函数——“某个字母”=f（“另一个字母”）——的不同写法而已。
不知道这么解释题主清楚不清楚？

追问

“某个字母”=f（“另一个字母”）这个解释我明白，

但是如果画出图像的话，应该怎么理解呢？

比如y=x^2和x=y^2就关于y=x对称啊

追答

我们直接从“y=x^2的反函数是什么”这个例子来分析：y=x的平方的反函数是x=根号下y，但是我们一般把自变量叫x，因变量叫y，所以我们改口说y=x的平方的反函数是y=根号下x；

另一方面对于x=y的平方这个函数，我们再找它的反函数前，首先注意到“我们一般把自变量叫x，因变量叫y”这个习惯，所以我们先把x=y的平方看成y=x的平方，然后再来找反函数，这就和上面的一样了。
进而言之，我们讲的是（“某个字母”=“另一个字母”的平方）这个函数的反函数是（某个字母”=根号下“另一个字母”），而且前后两个函数的字母没有任何关系。换句话讲，我们关心的是函数关系而不是未知量。
总之，题主在考虑这个问题的时候，一定不要被x和y干扰了思考。
我能力有限，也只能说到这种程度了，题主还是不明白的话，最好找个人面对面的帮你说一说。

Answer 3

y-2=x^2
log2(y-2)=x
(以2为底)
所以反函数是y=log2(y-2)
求反函数的定义域就是求原函数的值域：x^2>=0
x^2+2>=2
所以定义域是x>=2

Answer 4

x=f(y)和y=f-1（x）是一样的，只是表达方式不同，把x=f（y）里的x，y互换就行了