Question

设二阶常系数线性微分方程y″+αy′+βy=γe-x的一个特解为y=ex+（1+x）e-x，则此方程的通解为______

设二阶常系数线性微分方程y″+αy′+βy=γe-x的一个特解为y=ex+（1+x）e-x，则此方程的通解为______．

Answer 1

将特解y=e^x+（1+x）e^-x代入原方程得：
e^x+（x-1）e^-x+α（e^x-xe^-x）+β[e^x+（1+x）e^-x]=γe^-x
即：[（β-γ-1）+（-α+β+1）x]e^-x+（1+α+β）e^x=0
∴

?α+β+1＝0 β?γ?1＝0 α+β+1＝0

解得：α=0，β=-1，γ=-2
所以，原方程为：y″-y=-2e^-x，
其特征方程为：r²-1=0
解得：r₁=1，r₂=-1
因此原方程对应的齐次线性微分方程的通解为：y＝k1ex+k2e?x，（k₁，k₂为任意常数）
故原方程的通解为：
y＝k1ex+k2e?x+ex+(1+x)e?x＝c1ex+c2e?x+xex．（c₁，c₂为任意常数）