Question

正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于E，BC交x

正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于E，BC交x轴负半轴于F，OE=1，OD=4，抛物线y=ax2+bx-4过A、D、F三点．（1）求抛物线的解析式；（2）Q是抛物线上D、F间的一点，过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M，交BC所在直线于N，若S四边形AFQM=32S△FQN，则判断四边形AFQM的形状；（3）在射线DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H，使得AP⊥PH且AP=PH？若存在，请给予严格证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）依条件有D（0，-4），E（0，1）．
∵∠EAO+∠OAD=90°，
∠ADO+∠OAD=90°，
∴∠EAO=∠ADO，
又∵∠AOE=∠AOD=90°，
∴△OEA∽△ADO知OA²=OE?OD=4．
∴A（2，0）由Rt△ADE≌Rt△ABF得DE=AF．
∴F（-3，0）．
将A，F的坐标代入抛物线方程，
得

4a+2b?4＝0 9a?3b?4＝0

∴a=b=

2

3

．
∴抛物线的解析式为y=

2

3

x²+

2

3

x-4；

（2）设QM=m，
S_{四边形AFQM}=

1

2

（m+5）?|y_Q|，S_△FQN=

1

2

（5-m）?|y_Q|．
∴（m+5）?|y_Q|=

3

2

（5-m）?|y_Q|
∴m=1
设Q（a，b），则M（a+1，b），
∴

b＝ 2 3 a2+ 2 3 a?4 b＝2(a+1)?4

∴a²-2a-3=0，
∴a=-1（舍去a=3），b=-4，
此时点M坐标为（0，-4）与点D重合，QF=AM，AF＞QM，AF∥QM，
则AFQM为等腰梯形；

（3）在射线DB上存在一点P，在射线CB上存在一点H．
使得AP⊥PH，且AP=PH成立，证明如下：
当点P如图①所示位置时，不妨设PA=PH，过点P作PQ⊥BC，PM⊥CD，PN⊥AD，垂足分别为Q、M、N．
若PA=PH．由PM=PN得：
AN=PQ，
∴Rt△PQH≌Rt△ANP
∴∠HPQ=∠PAN．
又∵∠PAN+∠APN=90°
∴∠APN+∠HPQ=90°
∴AP⊥PH．
当点P在如图②所示位置时，
过点P作PM⊥BC，PN⊥AB，
垂足分别为M，N．
同理可证Rt△PMH≌Rt△PAN．
∠MHP=∠NAP．
又∠MHP=∠HPN，
∠HPA=∠NPA+∠HPN=∠MHP+∠HPM=90°，
∴PH⊥PA．（1分）
当P在如图③所示位置时，过点P作PN⊥BH，垂足为N，PM⊥AB延长线，垂足为M．
同理可证Rt△PNH≌Rt△PMA．
∴PH⊥PA．
注意：分三种情况讨论，作图正确并给出一种情况证明正确的，同理可证出其他两种情况的给予（4分）；
若只给出一种正确证明，其他两种情况未作出说明，可给（2分）；
若用四点共圆知识证明且证明过程正确的也没有讨论三种情况的．只给（2分）．