Question

记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3=a4+6，且a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式； （2

记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3=a4+6，且a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式； （2）当数列{1Sn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）在等差数列{a_n}中，前n项和为S_n，S₃=a₄+6，
且a₁，a₄，a₁₃成等比数列；
∴

a1+a2+a3＝a4+6 a42＝a1?a13

，
即

3a1+3d＝a1+3d+6 (a1+3d)2＝a1(a1+12d)

；
解得a₁=3，d=0或d=2；
当d=0时，a_n=3；
当d=2时，a_n=3+2（n-1）=2n+1；  
（2）当d=0时，a_n=3，s_n=3n，
∴

1

sn

=

1

3n

，
前n项和为T_n=

1

3

+

1

3×2

+…+

1

3n

；
当d=2时，a_n=3+2（n-1）=2n+1，
s_n=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2），
∴

1

sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴前n项和为
T_n=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

2

-

1

4

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

（

1

n?1

-

1

n+1

）+

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3n2+5n

2n2+6n+4

．