Question

如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，点D是BC边的中点．点P从点B出发，以acm/s(a＞0)的速度沿BA匀

如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，点D是BC边的中点．点P从点B出发，以acm/s(a＞0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1cm/s的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts．(1)若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．①若a＝，求PQ的长；②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC的中点，∴BD=CD= BC=6。 ∵a=2，∴BP=2t，DQ=t。∴BQ=BD－QD=6－t。 ∵△BPQ∽△BDA，∴ ，即 ，解得： 。 （2）①过点P作PE⊥BC于E， ∵四边形PQCM为平行四边形， ∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM。 ∴PB：AB=CM：AC。 ∵AB=AC，∴PB=CM。∴PB=PQ。 ∴BE= BQ= （6－t）。 ∵a=，∴PB=t。 ∵AD⊥BC，∴PE∥AD。∴PB：AB=BE：BD，即 。 解得，t= 。 ∴PQ=PB=t= （cm）。 ②不存在．理由如下： ∵四边形PQCM为平行四边形，∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM。 ∴PB：AB=CM：AC。 ∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ。 若点P在∠ACB的平分线上，则∠PCQ=∠PCM， ∵PM∥CQ，∴∠PCQ=∠CPM。∴∠CPM=∠PCM。 ∴PM=CM。∴四边形PQCM是菱形。∴PQ=CQ。 ∴PB=CQ。 ∵PB=at，CQ=BD+QD=6+t，∴PM=CQ=6+t，AP=AB－PB=10－at，且 at=6+t①。 ∵PM∥CQ，∴PM：BC=AP：AB，∴ ，化简得：6at+5t=30②。 把①代入②得，t= 。 ∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上。

等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行的性质，菱形的判定和性质，反证法。 【分析】（1）由△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质， 即可求得BD与CD的长，又由a=2，△BPQ∽△BDA，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得t的值。 （2）①首先过点P作PE⊥BC于E，由四边形PQCM为平行四边形，易证得PB=PQ，又由平行 线分线段成比例定理，即可得方程 ，解此方程即可求得答案。 ②用反证法，假设存在点P在∠ACB的平分线上，由四边形PQCM为平行四边形，可得四边形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程组，解此方程组求得t值为负，故可得不存在。