Question

如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C． （1）由题设条件，请写出三个

如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C． （1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一： ；结论二： ；结论三： ．（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），①求CE的最大值；②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）

Answer 1

（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD；（2）① ；②1或2－ .

试题分析：（1）根据平面图形的基本性质结合图形特征即可得到结果； （2）①先证得△ACB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形可求得AC的长，证得△ADE∽△ACD，根据相似三角形的性质可得到 ，再根据垂线段最短的性质求解即可； ②分当AD=AE时，当EA=ED时，当DA=DE时，这三种情况，根据等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、相似三角形的性质求解即可. （1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD； （2）①∵∠B=∠C，∠B=45°， ∴△ACB为等腰直角三角形。 ∴ 。 ∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD， ∴△ADE∽△ACD。 ∴AD：AC=AE：AD， ∴   当AD最小时， AE最小，此时AD⊥BC（直线外一点与直线上所有点的连线段中垂线段最短），AD= BC=1。 ∴AE的最小值为 ∴CE的最大值= ； ②当AD=AE时， ∴∠1=∠AED=45° ∴∠DAE=90° ∴点D与B重合，不合题意舍去 当EA=ED时，如图1 ∴∠EAD=∠1=45° ∴AD平分∠BAC ∴AD垂直平分BC ∴BD=1。 当DA=DE时，如图2 ∵△ADE∽△ACD ∴DA：AC=DE：DC ∴DC=CA= ∴BD=BC－DC=2－ 综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长的长为1或2－ . 点评：此类问题综合性强，难度较大，是中考常见题，一般以压轴题形式出现，要特别注意.