Question

在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，

在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，直线l的参数方程是 x=-3+ 3 2 t y= 1 2 t （t为参数）．（1）求极点在直线l上的射影点P的极坐标；（2）若M、N分别为曲线C、直线l上的动点，求|MN|的最小值．

Answer 1

（1）由直线的参数方程消去参数t得l： x- 3 y+3=0 ， 则l的一个方向向量为 a =(3， 3 ) ， 设 P(-3+ 3 2 t， 1 2 t) ， 则 OP =(-3+ 3 2 t， 1 2 t) ， 又 OP ⊥ a ， 则 3(-3+ 3 2 t)+ 3 2 t=0 ，得： t= 3 2 3 ， 将 t= 3 2 3 代入直线l的参数方程得 P(- 3 4 ， 3 4 3 ) ， 化为极坐标为 P( 3 2 ， 2 3 π) ． （2）ρ=4cosθ?ρ 2 =4ρcosθ， 由ρ 2 =x 2 +y 2 及x=ρcosθ得（x-2） 2 +y 2 =4， 设E（2，0），则E到直线l的距离 d= 5 2 ， 则 |MN | min =d-r= 1 2 ．