Question

△ABC，点D在AB上，AD=AC，连接CD，点E，F分别在线段BC、射线CA上，∠EDF=∠ACB，点G在DF上，DG?BC=A?DE

△ABC，点D在AB上，AD=AC，连接CD，点E，F分别在线段BC、射线CA上，∠EDF=∠ACB，点G在DF上，DG?BC=A?DE（1）如图，求证：∠DGE=∠BAC；（2）若AD=3BD，cos∠BAC=78，射线CG交AB于点H，探究线段DH，FA，FC之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵DG?BC=AD?DE，
∴

DG

AD

＝

DE

BC

．
∵AD=AC，
∴

DG

AC

＝

DE

CB

．
∵∠EDG=∠ACB，
∴△EDG∽△BCA．
∴∠DGE=∠BAC；
（2）如图2当点F在AC上时，作BP⊥AC与P点，设AB=8k，由cos∠BAC=

AP

AB

＝

7

8

得AP=7k，
∵AD=3DB，
∴AC=AD=6k，PC=k．
在Rt△ABP内，AB=8k，AP=7k，
∴BP=

15

k，
在Rt△BCP内PC=k，BP=

15

k，
∴BC=4k
∵BD=2k，
∴

BD

BC

＝

BC

AB

，
∵∠CBD=∠ABC，
∴△CBD∽△ABC，
∴∠DCB=∠BAC，

CD

AC

＝

BC

AB

∴CD=

3

4

BC
设EG交CD于点O，
由∠DCB=∠A=∠DGE，∠GOD=EOC，
∴△GOD∽△COE，
∴

OG

CO

＝

OD

OE

，

OG

OD

＝

OC

OE

∵∠COG=∠EOD，
∴△CGO∽△EDO，
∴∠GCD=∠GED．
由（1）△EDG∽△BCA得∠GED=∠ABC，
∴∠GCD=∠ABC，
∵∠CHD=∠BHC，
∴△CHD∽△BHC，
∴

CH

BH

＝

HD

HC

＝

CD

BC

＝

3

4

，
设HD=3t，CH=4t，BH=

16

3

t
∴BD＝

7

3

t=2k
∴HD=

18

7

k
∵FA+FC=6k，
∴FA+FC=

7

3

HD，
如图3当点F在CA延长线上时，FC-FA=

7

3

HD．