Question

确定常数a、b、c的值，使limx→0ax?sinx∫xbln(1+t3)tdt＝c（c≠0）

确定常数a、b、c的值，使limx→0ax?sinx∫xbln(1+t3)tdt＝c（c≠0）．

Answer 1

∵

lim

x→0

ax?sinx

∫ x b ln(1+t3) t dt

＝c（c≠0）
且当x→0时，ax-sinx→0
∴分母在x→0时，极限一定存在且为0，即

lim

x→0

∫

x b

ln(1+t3)

t

dt＝0
由于

ln(1+t3)

t

在（0，b]（b＞0时）和在[b，0）（b＜0时），均大于0
因此由定积分的定义或几何意义可知，

lim

x→0

∫

x b

ln(1+t3)

t

dt＞0
∴b=0
又根据洛必达法则，有

lim

x→0

ax?sinx

∫ x b ln(1+t3) t dt

=

lim

x→0

a?cosx

ln(1+x3) x

＝

lim

x→0

ax?xcosx

ln(1+x3)

=

lim

x→0

a?cosx

x2

∴

lim

x→0

(a?cosx)＝0
∴a=1
又

lim

x→0

ax?sinx

∫ x b ln(1+t3) t dt

＝

lim

x→0

1?cosx

x2

=

1

2

∴c＝

1

2

综上