Question

已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为2．F1、F2分别是它的左、右焦点，点A是它的右顶点．过F1

已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为2．F1、F2分别是它的左、右焦点，点A是它的右顶点．过F1作一条斜率为k（k≠0）的直线与双曲线交于两个点M、N．则∠MAN=（　　）A．30°B．45°C．60°D．90°

Answer 1

∵双曲线的离心率e=2，∴c²=4a²=a²+b²，得到b²=3a²，
则双曲线方程为3x²-y²=3a²．
设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直线MN的方程为x=my-2a，与双曲线方程联立得（3m²-1）y²-12amy+9a²=0，∴y₁+y₂=

12am

3m2?1

，y₁y₂=

9a2

3m2?1

，
则

AM

?

AN

=（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=（my₁-3a）（my₂-3a）+y₁y₂=0，
∴AM⊥AN
∴∠MAN=90°．
故选D．