已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=120°，PA=AD=1，AB=2．M、N分别是PD、
已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=120°，PA=AD=1，AB=2．M、N分别是PD、CD的中点．（I）求证：MN⊥AD...
已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=120°，PA=AD=1，AB=2．M、N分别是PD、CD的中点．（I）求证：MN⊥AD；（II）求二面角A-MN-C的平面角的余弦值．
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解答：（Ⅰ）证明：在△ADC中，由余弦定理可得：AC2=12+22-2×1×2×cos60°=3，
∴AC2+AD2=CD2，∴AC⊥AD．
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AD．
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），C(
，0，0)，D（0，1，0），P（0，0，1），M(0，
，
)，
N(
，
，0)．
∴
＝(
，0，?
)，又
＝(0，1，0)，
∴
?
=0，∴
⊥
，即MN⊥AD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：
＝(0，
，
)，
＝(?
，
，
)．
设平面AMN的法向量为
＝(x，y，z)，则
?
＝0，
?
＝0，
可得
，令z=
∴AC2+AD2=CD2，∴AC⊥AD．
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AD．
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），C(
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
N(
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| MN |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| AD |
∴
| MN |
| AD |
| MN |
| AD |
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：
| AM |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| CM |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
设平面AMN的法向量为
| n |
| n |
| AM |
| n |
| MN |
可得
|
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