Question

设阵A=（α1，α2，α3，α4）经行初等变换为阵B=（β1，β2，β3，β4），且α1，α2，α3线性无关，α1

设阵A=（α1，α2，α3，α4）经行初等变换为阵B=（β1，β2，β3，β4），且α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关，则（　　）A．β4不能由β1，β2，β3线性表示B．β4能由β1，β2，β3线性表示，但表示法不唯一C．β4能由β1，β2，β3线性表示，且表示法唯一D．β4能否由β1，β2，β3线性表示不能确定

Answer 1

线性相关的定义：
有向量组A：a₁，a₂，…，a_m，如果存在不全为零的数 k₁，k₂，…，k_m，使k₁ a₁+k₂ a₂+…+km a_m=0则称向量组A是线性相关的，否则称它是线性无关．
明白该定义，则根据题意，
因为α₁，α₂，α₃线性无关，α₁，α₂，α₃，α₄线性相关，
所以k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃≠0，
l₁α₁+l₂α₂+l₃α₃+l₄α₄=0，
所以
α4＝?

l1

l4

α1?

l2

l4

α2?

l3

l4

α3，
所以α₄能由α₁，α₂，α₃线性表示，且表示法唯一．
而矩阵B是A经过初等变换而来的，据初等变换的性质可知，
β₄能由β₁，β₂，β₃线性表示，且表示法唯一．
故选：C．