Question

如图1，∠AOB=30°，∠BOC为∠AOB外的一个锐角，且∠BOC=80°．（1）若OM平分∠BOC，ON平分∠AOC（如图2

如图1，∠AOB=30°，∠BOC为∠AOB外的一个锐角，且∠BOC=80°．（1）若OM平分∠BOC，ON平分∠AOC（如图2）．求∠MON的度数；（2）如图3，射线OP绕着O点在∠AOB外旋转，OM平分∠POB，ON平分∠POA，求∠MON的度数；（直接写出结果）（3）如图4，射线OP从OC处以10°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，求多少分钟时，∠MON的度数是30°？【注：本题所涉及的角都是小于180°的角】

Answer 1

（1）∵∠AOB=30°，∠BOC=80°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=30°+80°=110°，
∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠COM=

1

2

∠BOC=

1

2

×80°=40°，
∠CON=

1

2

∠AOC=

1

2

×110°=55°，
∴∠MON=∠CON-∠COM=55°-40°=15°．
（2）∠MON=15°或者165°．
（3）设x分钟时，∠MON的度数是30°，
依题意有：∠POQ=80°，∴∠POM=

1

2

∠POQ=40°，
有两种情况：①射线OP在∠A′OC内部旋转如图3，
∠MON=∠PON-∠POM=

1

2

∠POA-40°=30°，
即：

1

2

（10x+110°）-40°=30°，
解得，x=3．
②射线OP在∠AOC内部旋转如图4，
∠MON=∠POM-∠PON=40°-

1

2

∠POA=30°，
即：40°-

1

2

（10x-250°）=30°，
解得，x=27．
3或27分钟时，∠MON的度数是30°．