Question

已知当-1＜x＜O时，二次函数y=x2-4mx+3的值恒大于l，求m的取值范围

已知当-1＜x＜O时，二次函数y=x2-4mx+3的值恒大于l，求m的取值范围．

Answer 1

二次函数y=x²-4mx+3的图象是一条开口向上的抛物线，
①当抛物线的对称轴x=2m≤-1时，即m≤-

1

2

，
要使二次函数解析式的值-1＜x＜0时恒大于1，只要
x=-1，y=1+4m+3=4m+4＞1，
解得：m＞-

3

4

，
∴-

3

4

＜m≤-

1

2

，
②当抛物线的对称轴x=2m≥0时，即m≥0时，
要使二次函数解析式的值-1＜x＜0时恒大于1，只要m≥0即可；
（3）当抛物线的对称轴x=2m在区间-1＜x＜0时，
∵-1＜2m＜0，
∴-

1

2

＜m＜0，
此时，要使二次函数解析式的值-1＜x＜0时恒大于1，只要

12?16m2

4

＞1即可，
解得：-

2

2

＜m＜

2

2

，
∴-

1

2

＜m＜0，
综上所述：m的取值范围是：m＞-

3

4

．

Answer 2

解：
y=x²-4mx+3
=x²-4mx+4m²-4m²+3
=（x-2m）²+3-4m²
函数开口朝上，对称轴为x=2m
所以当x=2m时，函数最小值为3-4m²
①如果-1＜2m＜0时，即-1/2＜m＜0时，函数最小值为3-4m²
则3-4m²＞1

4m²＜2
m²＜1/2
-√2/2＜m＜√2/2
所以此时m的取值范围为-1/2＜m＜0
②当2m≤-1时，即m≤-1/2时，在-1＜x＜0上，函数为单调递增函数
当x=-1时，函数y=（-1）²-4m×（-1）+3=4+4m＞1
m＞-3/4
所以此时m的取值范围为-3/4＜m≤-1/2
③当2m≥0时，即m≥0时，在-1＜x＜0上，函数为单调递减函数
当x=0时，函数y=0²-4m×0+3=3＞1
所以此时m的取值范围为m≥0

所以m的取值范围为m＞-3/4