Question

定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=2f（x）；②当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|，则集合 S={x|f

定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=2f（x）；②当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|，则集合 S={x|f（x）=f（61）}中的最小元素是______．

Answer 1

当2^n-1≤x≤2ⁿ（n∈N^*）时，

x

2n?2

∈[2，4]，
∵函数f（x）满足：①f（2x）=2f（x）；②当x∈[2，4]时，f（x）=1-|x-3|，
∴n≥2时，f（x）=2^n-1×f（

x

2n?2

）=2^n-1×[1-|

x

2n?2

-3|]
由函数解析式知，当

x

2n?2

-3=0时，函数取得极大值2^n-1，
∴极大值点坐标为（3×2^n-2，2^n-1）
∴f（x）在[2，4]，[4，8]，[8，16]…上的最大值依次为1，2，4…，即最大值构成一个以2为公比的等比数列，
∵f（61）=2f（

61

2

）=4f（

61

4

）=8f（

61

8

）=16f（

61

16

）=16×

3

16

=3，
∴f（x）=3时x的最小值是12；
故答案为：12