Question

△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证：DE=12BC

△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证：DE=12BC．

Answer 1

解答：证明：
过A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴BH=

1

2

BC，∠BAH=

1

2

∠BAC=60°，∠EAD=60°=∠BAH，
∵DE是线段AB的中垂线，
∴∠EDA=∠AHB=90°，AE=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB，
在△EDA和△BHA中

∠EDA＝∠BHA ∠EAD＝∠BAH AE＝AB

∴△EDA≌△BHA（AAS），
∴DE=BH，
∵BH=

1

2

BC，
∴DE=

1

2

BC．

Answer 2

作AF⊥BC,交BC于F,
∵AB=AC, ∠BAC=120°,
∴∠BAF=BAC/2=60°=∠EAD,(等腰三角形底边上的高，平分顶角), ①,
BF=BC/2(等腰三角形底边上的高，也是底边上的中线），
AF=ABcosBAF=ABcos60°=AB/2=AD. ②,
∠ADE=90°=∠AFB, ③,
依据①②③，
△ADE≌△AFB,
(α.s.α),
∴DE=BF=BC/2.